Le dossier d'octobre 2006 - Que disent les programmes ?

COMPETENCES NUMERATION, PROGRAMME CYCLE II

COMPETENCES VISEES	Activités
Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels (inférieurs à 1000)
Dénombrer et réaliser des quantités en utilisant le comptage un à un, ou des groupements et des échanges par dizaines, ou des groupements et des échanges par dizaines et centaines.	Utilisation d’une bande numérique ou d’une ligne graduée en début d’apprentissage Entraînement aux perceptions globales (jusqu’à 5), montrer le nombre sur les doigts
Comprendre et déterminer la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture décimale d’un nombre.	Privilégier les activités de groupement, avec matériel, plutôt que les activités d’échanges (qui nécessitent de distinguer valeur et quantité, à réserver à la monnaie au CE1) Ne pas forcer sur « dizaine » ou « centaine » tant que « paquet de dix » ou « paquet de cent » ne sont pas maîtrisées
Produire des suites orales et écrites de nombres de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100 (en avant et en arrière, à partir de n’importe quel nombre), en particulier citer le nombre qui suit ou qui précède un nombre donné.	S’assurer que les élèves comprennent l’équivalence entre « ajouter 1 » (ou retrancher 1) et « avancer d’une case » (ou reculer d’une case) sur la file numérique Utiliser des compteurs ou calculatrices
Associer les désignations chiffrées et orales des nombres de 1 à 30, de 1 à 99, de 1 à 999.	Trois étapes : 1/9, 20/59 (avec appui sur les régularités de vingt, trente, quarante, cinquante), puis étude spécifique 60/79, 80/99 (CE1 pour beaucoup d’élèves) Puis nombres de trois chiffres sans difficulté particulière (insister sur « on dit la centaine, puis on groupe dizaine et unité comme on sait le faire pour les nombres<100) N’introduire l’écriture littérale que très progressivement, lorsque l’oral est bien maîtrisé. Aider pour l’orthographe.
Ordre sur les nombres entiers naturels
Comparer, ranger, encadrer des nombres (en particulier entre deux dizaines consécutives ou entre deux centaines consécutives).	Différentier le notion de l’utilisation (ultérieure) du symbole < ou > (à référer à = comme signe d’égalité entre deux écritures et pas seulement le signe indiquant un résultat) Faire le lien avec les pages d’un livre (p34 avant p45) Amorcer la réflexion sur « 132 est entre 100 et 200, mais plus près de 100 »
Situer des nombres (ou repérer une position par un nombre) sur une ligne graduée de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100.
Relations arithmétiques entre les nombres entiers naturels
Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant: doubles des nombres inférieurs à 10, des dizaines entières inférieures à 100, moitié de 2, 4, 6, 8, 10, 20, 40, 60, 80.	A partir de la construction de la numération décimale (étape primordiale, longue et décisive), importance décisive de l’entraînement au calcul mental (voir document spécifique)
Connaître et utiliser les relations entre des nombres d’usage courant : entre 5 et 10 ; entre 25 et 50 ; entre 50 et 100 ; entre 15 et 30, entre 30 et 60 ; entre 12 et 24	La moitié de 20, 30 ou 50 peuvent être automatisées en fin de cII, mais 70 ou 90 sont à travailler en calcul réfléchi, notamment à l’oral (moitié de 70 = moitié de 60 plus moitié de 10)

Dans quels problèmes ?

Le sens des nombres et des opérations s’élabore à travers la résolution de quelques grandes catégories de problèmes :

– exprimer et garder en mémoire
– une quantité,
– une position dans une liste rangée,
– le résultat d’un mesurage ;
– comparer des quantités ou des grandeurs, notamment lorsque les collections ou les objets sont matériellement éloignés l’une de l’autre ;
– prévoir quel sera le résultat d’actions sur des quantités, des positions ou des grandeurs (augmentation, diminution, réunion, partage, déplacement…).

Dire en mathématiques

Les moments de mise en commun, d’explicitation des démarches et des résultats, d’échange d’arguments à propos de leur validité, se déroulent essentiellement de manière orale. On veillera, dans ces moments, à maintenir un équilibre entre les formulations spontanées utilisées par les élèves et la volonté de mettre en place un langage plus élaboré.
Cette volonté ne doit pas freiner l’expression des élèves. Les moments de reformulation et de synthèse sont davantage l’occasion de mettre en place un vocabulaire et une syntaxe corrects.

Écrire en mathématiques

Les élèves sont fréquemment placés en situation de production d’écrits. Il convient à cet égard de développer et de bien distinguer trois types d’écrits dont les fonctions sont différentes :

les écrits de type « recherche » correspondent au travail privé de l’élève. Ils ne sont pas destinés à être communiqués, ils peuvent comporter des dessins, des schémas, des figures, des calculs. Ils sont un support pour essayer, se rendre compte d’une erreur, reprendre, rectifier, organiser sa recherche. Ils peuvent également être utilisés comme mémoire transitoire au cours de la résolution du problème. Si l’enseignant est amené à les consulter pour étudier le cheminement de l’élève, il ne doit ni les critiquer, ni les corriger ;
les écrits destinés à être communiqués et discutés peuvent prendre des formes diverses (par exemple, affiche, transparent). Ils doivent faire l’objet d’un souci de présentation, de lisibilité, d’explicitation, tout en sachant que, le plus souvent, ils seront l’objet d’un échange entre les élèves au cours duquel des explications complémentaires seront apportées ;
les écrits de référence sont élaborés en vue de constituer une mémoire du travail de l’élève ou de la classe. Ils sont donc destinés à être conservés et doivent être rédigés dans une forme correcte.

Ce n’est que progressivement que ces trois types d’écrits seront bien distingués, notamment au cycle 3.
L’exigence syntaxique ou graphique (soin, présentation) varie également selon la finalité de la trace écrite, et ne doit pas faire obstacle à l’objectif principal qui reste l’activité de réflexion mathématique.
On sera attentif en particulier à ne pas se limiter à des formes stéréotypées, sécurisantes, mais pour lesquelles l’exigence formelle prime trop souvent sur le contenu de l’explication.
L’attention doit également être attirée sur l’importance de la synthèse effectuée au terme d’un apprentissage. Celle-ci peut permettre d’élaborer un écrit trouvant sa place dans un aide-mémoire ou un mémento dans lesquels sont consignés les savoirs essentiels.

Matériel et manipulations

Le travail mathématique est évidemment un travail de l’esprit. Mais celui-ci, en particulier à l’école élémentaire, s’exerce souvent à partir de questions posées sur des objets ou sur des expériences. Le matériel présent dans la classe doit donc être riche, varié et mis à disposition des élèves: cubes, jetons, bouliers, compteurs, instruments de géométrie et de mesure, jeux, etc.

Il faut cependant se convaincre que ce n’est pas la manipulation d’un matériel qui constitue l’activité mathématique, mais les questions qu’elle suggère. Il convient ainsi de bien distinguer les tâches de constat ou d’observation, qui invitent l’élève à lire une réponse sur le matériel, des tâches d’anticipation qui lui demandent d’élaborer, de construire par lui-même une réponse dont il pourra ensuite vérifier la validité en revenant à l’expérience. C’est dans ce dernier cas que l’élève fait des mathématiques.

Un exemple très simple permet de comprendre cette distinction. Au début du cycle 2, lorsque l’enseignant place sur la table 5 cubes rouges et 3 cubes bleus et demande aux élèves combien il y a de cubes sur la table, il provoque une activité de simple dénombrement, suffisante pour donner la réponse. Lorsqu’il place successivement les 5 cubes rouges et les 3 cubes bleus dans une boîte opaque et, après avoir fermé la boîte, pose la même question aux élèves, il oblige l’élève à trouver un moyen pour construire la réponse. Le dénombrement effectif des cubes dans la boîte ne servira pas alors à lire la réponse, mais à vérifier si la réponse construite est correcte ou non. C’est dans des activités de ce type que les élèves peuvent commencer à percevoir la puissance de leurs connaissances mathématiques, même si celles-ci sont encore modestes.

Le calcul mental

» Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2. Une bonne maîtrise de celui-ci est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne (que ce soit pour obtenir un résultat exact ou pour évaluer un ordre de grandeur). Elle est nécessaire également à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques (traitements relatifs à la proportionnalité, compréhension du calcul sur les nombres relatifs ou sur les fractions au collège…). Et surtout, une pratique régulière du calcul mental réfléchi permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher (en situation) certaines propriétés des opérations (cf. les différentes méthodes utilisables pour calculer 37 + 18 ou 25 x 16). Dans ce domaine particulièrement, il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu). L’exploitation des diverses procédures mises en oeuvre par les élèves pour un même calcul permet de mettre l’accent sur les raisonnements mobilisés et sur les propriétés des nombres et des opérations utilisées « en acte » (certains parlent d’ailleurs à ce sujet de calcul raisonné)