Le récent rapport de l’inspection générale sur les programmes de 2008 a validé les programmes de mathématiques. Or, pour Joël Briand, maître de conférences en mathématiques à l’IUFM de Bordeaux, Marie-Lise Peltier et Danielle Vergnes, ces programmes proposent une vision archaïque et techniciste des maths. Il est urgent de remettre en marche la nécessaire évolution de l’enseignement des mathématiques à l’école.
La consultation sur les programmes de l’école primaire est l’occasion pour l’équipe d’enseignants chercheurs et formateurs, constituée de Joël Briand, Marie-Lise Peltier, et Danielle Vergnes, de procéder à un état des lieux sur les programmes actuels de mathématiques à l’école et de faire quelques propositions. Voici leur texte.
Construire de façon conjointe la numération et les premières opérations selon des algorithmes évolutifs permettant le pontage entre calcul réfléchi et calcul automatisé, associer nombre et grandeur, devraient être les lignes principales de construction des futurs programmes dans le domaine du numérique.
Avant tout, il serait fondamental, au cycle 2, d’expliciter dans les programmes, le décalage indispensable entre le champ numérique dans lequel les élèves vont travailler sur les nombres, leur organisation, leurs désignations écrites et orale, et le champ numérique dans lequel le professeur doit choisir les données de problèmes pour construire le sens des opérations et les procédures de calcul associées.
Ainsi par exemple au CP, pour comprendre la notion de groupement par 10 et l’écriture chiffrée des nombres qui lui est associée, il est indispensable que le nombre d’objets des collections convoquées soit supérieur à la trentaine. En revanche, pour comprendre les différentes situations conduisant à effectuer une addition (recherche d’un état final quand on a ajouté des objets à une collection, recherche d’un tout quand on connaît les parties, recherche d’un état initial quand on a enlevé des objets à une collection, etc.), les nombres doivent rester dans un champ numérique très peu étendu (souvent moins de 20) de manière à ce que les élèves ne soient pas gênés par le calcul effectif et puissent utiliser des procédures personnelles variées leur permettant de construire du sens aux opérations.
Une fois ces précautions prises, pour une construction conjointe de la numération et de l’addition, le cours préparatoire doit viser essentiellement une nouvelle lecture de mots tels que « 18 » qui doit être relu 10+8. Nous utilisons volontairement le terme « mot » car « 18 » a déjà une vie lorsque les élèves entre au CP. Ils savent souvent lire quelques mots numériques. Conjointement, l’addition prendra alors son sens : 17+18 c’est synonyme de 10+7+10 + 8 donc de 20+7+8 donc de 20+15 donc de 35. Si tous les élèves avaient ce savoir acquis en fin de CP, plutôt que de mécaniser prématurément une addition en colonne, nous réussirions cette entrée dans le calcul.
Remarque : si on a 13+18 on fera plutôt 13+10+8 car à l’issue de la maternelle 13 est plutôt conçu comme une entité globale. Ce calcul s’effectue par sauts en s’appuyant sur la droite des nombres.
L’addition en colonne amenée trop tôt peut-être un obstacle à la construction du sens (la retenue au dessus des deux nombres est un signe qui n’est pas de même nature que les deux nombres). Or il existe des procédés utilisés dans d’autres pays, procédés évolutifs, et plus en phase avec la numération en construction. Par exemple :
37+25= 12+50 = 62 écrit en ligne ou en colonne, ce qui permet de traiter l’addition en colonne… de gauche à droite ou de droite à gauche : 37 + 25 = 50 + 12 = 62. Qui pourra, plus tard, évoluer en :
Ce qui nous amène à la place du calcul mental, du calcul réfléchi : on voit bien que la construction d’algorithmes évolutifs est en phase avec l’intégration permanente du calcul réfléchi.
Développer une culture de la construction d’algorithmes évolutifs.
La soustraction posée en colonne ne devrait intervenir qu’après que les élèves aient les outils pour la comprendre. Un algorithme de la soustraction qui concilie consolidation de la numération et conservation des écarts (pour soustraire un nombre « rond ») est la soustraction dite « à la russe ». Cet algorithme peut perdurer au CE1 et être utilisé en calcul réfléchi à l’école et ailleurs.
Cet algorithme peut être mis en place dés le CE1 et être utilisé en calcul réfléchi à l’école et ailleurs. Pour qu’elle fasse sens pour les élèves, la conservation des écarts peut se matérialiser sur la droite numérique par le glissement du segment représentant cet écart.
L’écart entre 47 et 19 est le même que l’écart entre 48 et 20.
En CE2, l’algorithme classique fondé sur la conservation des écarts, (cette fois en ajoutant systématiquement 10 en cas de retenue) pourra alors être construit.
Pour que cette construction de la soustraction (algorithme « à la russe » puis classique) se fasse sans encombre, il est nécessaire que les élèves aient une bonne culture de la droite numérique. Cette conception du nombre -le nombre qui désigne une grandeur : une distance- est sous enseignée et fait défaut tout au long de la scolarité, en particulier lorsqu’il s’agira d’introduire les nombres décimaux. On sait que les phrases telles que « 39 est proche de 40 » n’ont de sens que si les élèves ont une image mentale de la droite numérique. Il faut donc combler cette lacune : cela peut commencer dès le CP (suite des nombres sur une piste, file numérique) et servir d’appui à la construction de l’addition (7 + 8 c’est 7 + 3 pour arriver à 10, puis 5 pour arriver à 15 : cette démarche est aisée sur une file numérique ponctuée des nombres 10, 20, 30, etc.) et de la soustraction en s’appuyant sur la conservation des écarts par glissement sur la droite, comme nous l’avons dit précédemment.
L’enseignement 2008 de la multiplication peut également gagner à s’appuyer sur l’élaboration d’algorithmes évolutifs : en ce sens, commencer par la multiplication par un nombre de un chiffre est contestable dans la mesure où cela risque d’induire qu’il y aurait un rôle spécifique pour le multiplicande et le multiplicateur donc qu’il n’y aurait peut-être pas de commutativité. La multiplication par un nombre à un chiffre gagnerait à être systématisée au moment où elle va constituer un élément clé dans les différents algorithmes usuels. De plus les travaux des années 80 (G.Brousseau) avaient largement montré que la multiplication de deux nombres de deux chiffres élaborée à l’aide d’un algorithme évolutif fondé sur la découpage d’un rectangle quadrillé représentant leur produit et conduisant à terme à la multiplication dite « per gelosia » permettait une consolidation de la numération, la construction de la loi des zéros et ceci dès le CE1. Cette étude des plans de découpage permet également d’introduire la technique usuelle mais complètement décomposée.
On comprend alors la nécessité de s’entraîner, à ce moment-là, à la multiplication par un nombre de un chiffre puisque cela est utilisé dans la technique usuelle.
La construction d’un algorithme plus formel peut attendre la fin du CE2.
Pour la division, il en est de même : est-il plus difficile de diviser 150 par 50 ou par 5 ? On voit bien qu’une fois encore le nombre de chiffres du diviseur n’est pas un critère pertinent ! La division s’appuie sur l’encadrement d’un nombre entre deux multiples consécutifs d’un autre nombre. Pour que cette conception soit acquise, il est nécessaire que les élèves aient là aussi travaillé sur la droite numérique. Ce jeu d’encadrement se pratique aisément dès lors que les élèves ont l’habitude de placer des nombres sur une droite. Or, actuellement, la plupart des élèves sont tout étonnés de voir que les nombres 6×1, 6×2, 6×3, 6×4, 6×5, etc. placés sur une droite graduée… sont tous distants de 6, ce qui nous ramène à la construction de cette droite numérique tout au long du cycle 2. Avec ces acquis, placer 43 entre 6×7 et 6×8 devient aisé et donne du sens à la division de 43 par 6. Il y a donc beaucoup mieux à faire pour la division que de savoir utiliser « la potence » pour diviser par un nombre de un chiffre.
L’enseignement des nombres décimaux ne peut se construire que s’il montre une rupture avec les nombres entiers (l’ordre). Il est fondé sur l’idée que l’on veut approcher la mesure d’une longueur d’aussi près qu’on le souhaite. Encore une fois, la droite numérique va être un outil fondamental pour servir d’appui à cette construction. D’où la nécessité de prévoir l’élaboration de cet outil bien avant dans la scolarité afin de ne pas multiplier les difficultés à ce moment de la construction des décimaux.
Les formes de calculs
Les programmes du cycle 3 présentent les trois formes de calcul : calcul mental, calcul posé et calculatrice en s’appuyant sur le moyen utilisé pour calculer (effectué dans la tête, nécessitant un papier et un crayon, nécessitant un instrument de calcul). Cette classification, toute pertinente qu’elle soit, entraîne une confusion entre calcul posé et maîtrise de techniques opératoires. Il semblerait judicieux de remplacer « calcul posé » par « calcul écrit », et de mettre en avant non seulement les moyens utilisés pour calculer mais aussi les modes de fonctionnements cognitifs convoqués : calcul réfléchi et calcul automatisé.
Le calcul réfléchi nécessite analyse des données, recherche de stratégies adaptées à ces données, contrôle des étapes et du résultat, ce qui contribue à un enrichissement des connaissances sur les propriétés des nombres et des opérations. Il concerne le calcul exact tout autant que le calcul approché.
Le calcul automatisé s’appuie quant à lui sur des faits numériques mémorisés et sur l’application de séries de procédures également mémorisées, et naturellement d’autant mieux mémorisées qu’elles auront été comprises. Le calcul automatisé concerne essentiellement le calcul exact.
Ces deux formes de calcul ont vocation à cohabiter tout au long de la vie, et seront utilisées en fonction des nombres ou du contexte : qui irait prendre un crayon et un papier pour évaluer l’heure d’arrivée lorsqu’il reste 330 km à parcourir et que l’on estime sa vitesse moyenne à 110km/h ?
Les programmes font à juste titre la distinction entre les concepts géométriques (alignement, orthogonalité, etc.), les objets géométriques supports à l’étude de ces concepts (segments, figures planes, solides, etc.) et l’utilisation d’instruments et de techniques. Cette distinction nous paraît à la fois pertinente et fondamentale.
Mais la géométrie n’est pas une « leçon de chose » au cours de laquelle les élèves apprendraient du vocabulaire et construiraient des savoir-faire techniques. C’est un domaine de construction de connaissances permettant de résoudre différents types de problèmes de l’espace et de l’espace graphique.
A l’école élémentaire au cycle 1 et début du cycle 2, il s’agit d’une géométrie concrète d’abord perceptive puis progressivement instrumentée concernant des objets physiques dont les propriétés sont perçues globalement. Ce sont les années où les élèves vont se constituer un champ d’expériences dans l’espace de dimension 3 et celui de dimension 2. Rappelons qu’au cycle 2, des allers-retours permanents entre l’espace et la géométrie sont indispensables pour permettre aux élèves de construire et maîtriser les concepts fondamentaux d’alignement, de distance, d’orthogonalité, etc. Les programmes pourraient inciter à utiliser de nombreux jeux de récréation pour installer dans l’action certains de ces concepts, puis à réfléchir aux moyens de représenter l’espace vécu sur une feuille de papier pour apprendre à anticiper avant de jouer.
Le vocabulaire accompagne les actions des élèves, avec ou sans instruments, leur permet d’évoquer ce qu’ils ont fait, et d’anticiper ce qu’ils pourraient faire. Ainsi ils peuvent par exemple apprendre à utiliser convenablement une règle et un crayon pour tracer des traits droits de différentes couleurs dans toutes les directions dans le cadre d’un travail en liaison avec les arts plastiques et la découverte d’artistes contemporains. Cette activité très simple contribue à la construction de la notion de trait droit puis de segment et des images mentales qui lui sont associées sans privilégier l’horizontale et la verticale.
Au cours du cycle 2 et au cycle 3, la géométrie devient spatio-graphique. Elle concerne à la fois des objets physiques et des objets graphiques que sont les dessins ou « figures ». La perception n’est plus globale mais instrumentée, les modes de validation s’appuient essentiellement sur l’usage des instruments puis progressivement au cours du CM, ces modes de validation vont faire appel à un « discours », mettant en place les premiers raisonnements déductifs.
Les mots « anticipation » et « prévision » devraient être constamment convoqués pour décrire les problèmes géométriques à proposer aux élèves. De même, l’aspect « spiralaire » de l’apprentissage devrait être en permanence mis en avant : prenons un exemple très simple concernant la notion d’angle droit et son évolution sur plusieurs années.
En fin de CP la plupart des élèves réussissent à reconnaître par une simple observation un carré ou un rectangle parmi plusieurs quadrilatères, compétence travaillée dès le cycle 1, ce qui signifie qu’ils « perçoivent » si les angles sont droits ou non.
En CE1 cette notion d’angle droit est reprise pour passer d’une perception globale à une perception instrumentée, par exemple à partir du double pliage d’une feuille de papier. A ce niveau, un exercice classique consiste à donner des figures planes aux élèves et à leur demander de repérer celles qui possèdent des angles droits en utilisant leur équerre (en papier, du commerce ou un gabarit sur transparent). Posons-nous la question simple suivante : les élèves travaillent-ils sur l’angle droit en faisant cet exercice ? Quelle différence, du point de vue cognitif, y aurait-il si on leur demandait de repérer non les angles droits mais des angles de 60° avec un gabarit ? Aucune naturellement puisque, dans les deux cas, le travail demandé consiste à regarder si la superposition de l’angle de l’instrument avec celui de la figure est réalisée ou non. Pour que cet exercice soit un travail sur l’angle droit, il est indispensable de demander tout d’abord aux élèves de chercher sans instrument les angles qui sont susceptibles d’être des angles droits, de manière à ce qu’ils convoquent non un savoir faire instrumenté, mais une image mentale de l’angle droit. Une fois les prévisions faites, les élèves vérifient leur prévision à l’aide de l’équerre. Cette phase a alors un double but : valider les prévisions et développer un savoir-faire (bien utiliser l’équerre).
Au CE2, si les élèves savent justifier qu’un quadrilatère est un carré en exhibant les angles droits et les égalités de longueurs, nombreux sont ceux qui, lorsqu’on leur demande d’en construire un sur une feuille unie, se contentent de tracer un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur. Plusieurs tentatives seront nécessaires pour que les élèves intègrent la nécessité de contrôler le tracé des angles droits. C’est à ce niveau que le concept prend tout son sens en intégrant les acquis précédents et en faisant le lien avec la notion d’orthogonalité.
Remarque :
Dans les programmes de 2008, quelques ajouts par rapport aux programmes de 2002 méritent que l’on s’interroge. Par exemple, quel intérêt y-a-t-il à introduire la notion de hauteur d’un triangle en CM2 ? Si c’est pour pouvoir calculer l’aire du triangle en « appliquant » une formule, il est beaucoup plus utile et formateur pour comprendre le difficile concept d’aire de trouver l’aire d’un triangle déterminé en cherchant comment construire un rectangle lié à ce triangle qui permettrait le calcul. On peut se poser la même question à propos du calcul de volumes du parallélépipède rectangle ou de circonférence du cercle.
La rédaction des programmes pourrait laisser penser qu’il s’agit de domaines disjoints, or d’un point de vue tout autant historique que didactique, les liens entre calcul et mesure de grandeurs sont étroits.
Le travail sur les nombres entiers est déjà un travail sur une grandeur : il s’agit d’une grandeur discrète attachée aux collections d’objets : leur nombre d’éléments.
Tout au long de la scolarité, ces liens étroits sont indispensables à exhiber de manière à assurer du sens aux différentes opérations : additionner, c’est bien sûr lié à la réunion de collections, mais aussi à la mise bout à bout de deux segments, au mélange de liquides, à la réunion de deux masses, etc.
De même, comment justifier l’introduction des nombres non entiers (fractions et décimaux) sans mettre en avant le fait que les nombres entiers ne suffisent pas pour approcher les mesures de diverses grandeurs ?
Parallèlement, il faut prendre soin de ne pas faire l’amalgame entre la droite numérique et la règle graduée en centimètre. La droite numérique est un mode de représentation des nombres, indépendamment des grandeurs qu’ils permettent de mesurer. A ce titre, le choix de l’unité pour graduer la droite est parfaitement arbitraire et bien sûr il est lié au champ numérique concerné : on ne peut pas choisir la même unité si l’on veut s’intéresser aux nombres entiers entre 1 et 20, aux nombres entiers entre 1000 et 10 000, aux fractions entre 0 et 1, etc.
Le travail sur les graduations pertinentes à choisir sur une droite en fonction du problème à résoudre fait intégralement partie du travail sur la proportionnalité.
Contrairement aux autres parties du programme, cette rubrique ne renvoie pas à des contenus disciplinaires mais à des modes de représentation de données et à des outils de traitement de ces données, données pouvant relever de n’importe quel domaine de connaissances. On s’étonne donc que ce soit dans cette rubrique qu’apparaisse la notion de proportionnalité qui est en fait une notion phare du domaine multiplicatif.
Il est écrit dans les programmes en cycle 3 « La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les notions de pourcentage, d’échelle, de conversion, d’agrandissement ou de réduction de figures. ». Or, si on regarde attentivement cette question, une partie des problèmes qui donnent sens à la multiplication dès le Cycle 2 sont des problèmes relevant de la proportionnalité. Considérons le problème suivant :
« Un paquet de yaourts contient 6 yaourts, combien de yaourts y a-t-il dans 4 paquets ? ».
Un tel énoncé lie deux domaines de grandeurs : le nombre de paquets, le nombre de yaourts, et met en jeu 3 nombres (1 ; 6 et 4) pour en trouver un quatrième (24).
En fait, un très grand nombre de problèmes multiplicatifs relève de la proportionnalité et les procédures de résolution mises en œuvre par les élèves pour les résoudre relèvent très souvent des propriétés de linéarité. Donnons un exemple simple :
« 3 crayons coûtent 7€. Quel est le prix de 15 crayons ? ».
La procédure « naturelle » est de chercher le rapport scalaire entre les nombres 3 et 15 et d’utiliser ce rapport 5 pour trouver le prix des 15 crayons.
Il semble indispensable de rapatrier l’étude de la proportionnalité dans la rubrique « nombre et calcul » et ceci dès le cycle 2.
Les notions de pourcentage, d’échelle, de conversion, de rapport d’agrandissement et de réduction s’inscriront alors naturellement dans la progression en lien avec les objets auxquelles elles réfèrent : les conversions dans le cadre du travail sur les grandeurs dès le cycle 2, les rapports d’agrandissement et de réduction dans le cadre des reproductions de figures dès le CE2, l’utilisation des échelles dans celui de l’étude des plans et des cartes en liaison avec la géographie au cycle 3, les pourcentages dans le cadre de la résolution de problèmes de la vie quotidienne en cycle 3.
En conclusion, les programmes de 2008 ont marqué un coup d’arrêt à la nécessaire évolution de l’enseignement des mathématiques à l’école. Il faut saisir l’opportunité qui se présente aujourd’hui pour dépasser une vision simplement techniciste des mathématiques et pour concilier l’acquisition des savoirs avec la construction d’une pensée rationnelle, réfléchie, et citoyenne.
