A partir de deux déclarations l’une de Cédric Villani effectuée sur Canal Plus en décembre 2014, l’autre de M.Torossian lors de la présentation du rapport de la commission « Villani-Torossian » en février 2018, je ferai deux remarques de natures complètement différentes : une relative à la place de la recherche sur l’enseignement des mathématiques vis-à-vis des structures et directives ministérielles actuelles, l’autre plus en phase avec mes préoccupations de formateur-chercheur, sur la place de la manipulation dans l’activité mathématique et ce qui s’en dit actuellement au travers de « méthodes » et de déclarations.
Premier point
Alors directeur de l’Institut Poincaré, Cédric Villani déclarait (Le Grand Journal Canal plus Décembre 2014) : « Il y a un certain paradoxe français : on a d’excellentes recherches en mathématiques…. au contraire il y a des très faibles, résultats moyens, disons à Pisa. Il y a un autre paradoxe français dont on parle moins c’est le fait que l’on a des résultats spectaculaires au niveau mondial en recherche pédagogique mathématiques mais cette recherche pédagogique jusqu’à présent ne communiquait pas avec l’écosystème de l’éducation nationale et maintenant, derrière la réforme [NDLR les futurs programmes 2015], il y a cette volonté d’associer tout l’écosystème… ». De nombreux chercheurs en didactique des mathématiques avaient apprécié cette déclaration venant d’un détenteur de la prestigieuse médaille Field qui était en rupture avec les propos régulièrement tenus par certains mathématiciens de haut niveau proches du groupe « agir pour l’école ». Les programmes de l’école primaire de 2002 avaient été détricotés de façon malheureuse en 2007-2008. Pour élaborer les programmes 2015 on renouait avec une large pratique de la concertation entre praticiens, chercheurs, formateurs, ce dont Cédric Villani se félicitait.
Pourquoi aujourd’hui, par des repères de progressivité élaborés par « des personnes anonymes » (1), remettre en cause de façon larvée ces programmes 2015 (2) ? Pourquoi accepter que le nouveau Conseil Scientifique de l’Education Nationale soit privé des « chercheurs en pédagogie des mathématiques » (et d’autres disciplines) et fasse une large place aux seules « neuro sciences » (3) ? Pourquoi mettre en avant une méthode dite imprudemment de « Singapour » avec sa marchandisation associée ? Cédric Villani est il solidaire de ces pratiques ? A-t-il le pouvoir, l’intention de réagir ? Un député peut écrire, s’exprimer. Nous fondons beaucoup d’espoirs sur une prise de position qui serait en continuité avec ses déclarations de 2014.
Second point
Je ne reviendrai pas sur l’analyse des raisons de l’omniprésence actuelle d’une des méthodes dites de « Singapour », l’évocation de l’une d’elles dans le rapport Villani-Torossian, sa mise en place obligée dans certaines circonscriptions, ce qui constitue une première dans l’éducation nationale. Plusieurs articles (R.Brissiaud, C.Chambris ) en ont fait l’écho et me semblent tout à fait éclairants (4).
Il convient de se poser la question du pourquoi le succès de cette entreprise de marchandisation d’une méthode ? Qu’est ce qui fait que des enseignants investis dans leur travail croient se reconnaître dans cette offre ? Qu’est ce que les chercheurs, les formateurs n’ont pas réussi à « faire passer » aux professeurs des écoles au cours des années passées ?
Prenons la question des manipulations et de l’expérience en mathématiques (5). Ce point est en effet mis en avant par les promoteurs de la « méthode ». L’enfant manipulerait, il schématiserait et enfin il passerait à l’abstraction. Depuis 40 ans, les recherches en didactique des mathématiques ont montré l’importance de la manipulation dans la genèse d’une activité mathématique et les obstacles à l’acquisition de savoirs mathématiques qu’une manipulation mal organisée pouvait créer. L’idée communément admise, par exemple, que, pour faire des mathématiques il faut manipuler, est porteuse de graves malentendus. Si les questions se résolvent par du matériel, alors il n’y a aucune raison (sauf l’obéissance) pour s’investir dans des écrits, des tracés. Or qu’avons-nous entendu lors de la présentation du rapport de la commission Villani-Torossian en présence du Ministre de l’Education Nationale devant un parterre de journalistes ?
Voici la déclaration vue (6) et entendue : « ….les méthodes pédagogiques, Singapour ou autre qui fonctionnent, c’est qu’elles ont besoin d’un professeur bien formé pour savoir où il va. Alors je vais donner un exemple….on est allé dans des classes où il y a des super mallettes, il y a des volumes 3D avec des cônes, des cylindres, des boules, alors je disais voyez l’élève va expérimenter, l’élève va prendre comme un cône de glace …. Il va remplir ça d’eau et puis va vider ça dans le cylindre et qu’est ce qu’il va observer ?....il a mis exactement trois cônes pour remplir le cylindre… c'est-à-dire qu’il a expérimenté, ensuite il a dit ce qu’il a fait mais là où le professeur va jouer un rôle et là où il a besoin d’être formé et d’avoir préparé un petit peu son cours…. Mais qu’est ce qu’on a fait au fond est-ce que l’on a démontré quelque chose ? Est-ce que l’on a expérimenté… s’il n’y a pas la troisième étape en vérité, on s’est amusé, on n’a rien appris. Donc ce qu’il faut dire c’est qu’effectivement, les enfants, vous avez démontré, expérimenté et démontré que dans un cylindre il y a trois cônes. Et ça c’est une formule mathématique et on n’a pas écrit de symboles, c'est-à-dire qu’on peut faire des mathématiques comme le faisaient les grecs il y a 2000 ans et comme le faisait Archimède sans avoir à écrire une seule fois pi ou racine de je ne sais pas quoi. Non non les mathématiques c’est des choses simples que des enfants de 6 ans peuvent comprendre et quand vous réalisez cette expérience avec des enfants eh bien ils ne l’oublieront jamais ».
Malgré l’apparence d’une activité plaisante, c’est rendre un très mauvais service que de présenter l’activité mathématique de cette façon. On y encourage le professeur à faire confondre conjecture et démonstration. Alors pourquoi se « casser la tête » avec des démonstrations au collège, au lycée et plus tard ?
Lorsque les grecs ont prouvé l’irrationalité de racine carrée de 2 c’est bien en s’émancipant de l’expérience matérielle. 100 fois je pourrais mesurer la diagonale d’un carré de côté de mesure 1 et me rendre compte qu’elle mesure à peu près 1,414 (aux instruments près), 100 fois je pourrais ne pas me poser une question d’une autre nature : est-ce que ce résultat issu du mesurage nous dit quelque chose sur la nature du nombre qui désigne la mesure de cette diagonale ? Cette nouvelle question suppose une construction théorique qui s’effectue ailleurs, à l’aide d’un langage, de règles de déduction, d’une démonstration. Cette démonstration de l’irrationalité de racine de 2 ne s’effectue pas en mesurant. Dire alors que les mathématiques n’ont pas besoin de formules constitue un raccourci dangereux. S’il s’agit de dire que l’enseignement des mathématiques ne devrait pas se limiter à l’apprentissage de formules alors oui, mais il faut développer. Oui, La pratique des mathématiques n’est pas seulement la connaissance d’un ensemble de vérités instituées qu’il faut connaître et appliquer mais aussi la construction d’un langage ayant sa propre consistance et, le cas échéant, qui permette d’aider à contrôler une situation. (contre-rôle c'est-à-dire un ensemble de signes qui assure la tenue, en double, de la situation). Laisser croire que l’on peut faire l’économie de la construction de ce langage est démagogique. Après cette activité de transvasements le professeur « bien formé » pourrait être invité à dire « vous voyez que le volume du cône semble être le tiers de celui du cylindre de même diamètre et de même hauteur. Je vous dit que c’est vrai et plus tard, vous disposerez d’outils mathématiques vous permettant de vous en assurer ». J’ai longuement décrit dans un article comment de l’école au collège puis au lycée on passait de la construction de théorèmes à partir d’un milieu matériel, à l’inférence probable (7) , puis au raisonnement déductif.
Les formateurs dont je fais partie n’ont pas su faire comprendre aux professeurs des écoles le rôle fondamental joué par un type de manipulation au sein de l’activité mathématique. J’avais déjà évoqué cette question dans un précédent article sur le « café pédagogique » intitulé : « Réflexions actuelles sur les mathématiques à l'Ecole primaire ». Cette question de la place et du rôle de la manipulation mérite donc qu’on y revienne. Pour cela, prenons un exemple d’une séquence de classe qui se déroule en cours préparatoire :
Une enseignante fait lancer un dé par chaque élève. A chaque lancer, elle écrit le nombre obtenu au tableau et met, en même temps dans une tirelire, un nombre correspondant de jetons. Au bout de 9 lancersd (par exemple), est écrit : 5 + 4 + 2 + 4 + 1 + 6 + 4 + 4 + 5. Elle pose alors la question suivante : « Quand j’ouvrirai la tirelire, à chaque fois qu’il y aura 10 jetons, on les échangera contre un bonbon (8). D’après vous, combien de bonbons on va pouvoir avoir ? ». Dès cet instant, plusieurs élèves, en montrant le texte au tableau affirment « il n’y en aura pas dix, tu vois bien [en montrant ce qui est écrit], il n’y a que 6, maximum ». Dans cette première phase, le professeur a constitué un premier milieu de référence (le dé, la tirelire, Une règle du jeu, des joueurs, une production écrite) à partir duquel il installe un milieu d’apprentissage en ajoutant la question relative aux bonbons. Il s'agit de tenter d'anticiper des faits expérimentaux (il y aura (ou non) la possibilité d’avoir des bonbons), de les vérifier d’abord de façon empirique (« on n’a qu’à ouvrir la boîte »), passage obligé pour que s'installe un milieu propice à une autre activité : celle d’une construction théorique faite de langage essentiellement écrit qui permettra l’élaboration de processus de vérification d’une autre nature, devenant autonome, allant jusqu’à négliger l’ouverture de la tirelire. Qui d’autre que le professeur peut organiser cette mise en scène qui va créer le désir « d’en savoir plus » sans ouvrir la boîte ? Qui fera comprendre aux élèves qu’au-delà de la règle du jeu, cet interdit de l’ouverture de la boîte est une invitation à d’autres découvertes ?
La suite des séances, fondée sur une dialectique entre construction progressive d’un modèle (travail sur ce que nous appelons la suite additive, mais qui n’a pas du tout ce sens en début de lecture par les élèves) et mise à l’épreuve des faits, fera que les élèves déboutés de leurs affirmations premières par la vérification expérimentale matérielle (en fait, les rétroactions construites par un milieu antagoniste), vont progressivement construire des règles elles-mêmes vérifiées expérimentalement, mais cette fois sans recours au matériel, par les seules premières déclarations signes de naissance d’un modèle en gestation. Qui d’autre que le professeur saura organiser les déclarations orales ou les marques écrites, ne pas ignorer des découvertes apparemment anodines qui sont la marque d’une re-construction de l’expérience par le discours ou/et dans l’écriture naissante ?
Comme par exemple :
l’addition entre deux signes consécutifs permet de prévoir le nombre de jetons obtenu à la suite de deux lancés,
Cette première règle permet de commencer à interroger l’affirmation première « il ne peut pas y avoir de 10 , puisque ce n’est pas écrit »
L’addition entre deux signes, même non consécutifs permet de prévoir le nombre de jetons obtenus à la suite des lancers correspondants, indépendamment des autres lancers,
Une fois que l’on a pris un signe, celui-ci ne peut-être repris
le résultat d’une addition entre deux signes peut être lui-même combiné aux autres signes.
Le milieu s’enrichit donc progressivement, par l’action organisatrice du professeur. Ces règles d’action devenues théorèmes en acte (9) ont pris naissance à partir des situations d’actions. Mais où est le réel ? Où commence le modèle ? La frontière n’est sans doute pas nette, ce qui veut dire qu’une part a été explicitée dans le modèle et une part reste implicite dans l’action qu’on porte sur lui. C’est le lot de l’école primaire. Mais toutes ces « briques » sont nécessaires pour comprendre ultérieurement ce que sera une suite additive. Le professeur se sert de la première situation d’action puis de formulation en confrontation avec un milieu matériel pour construire progressivement une nouvelle situation d’action et de formulation, cette fois dans un milieu de signes, étape obligée pour l’élaboration d’un modèle. A un moment, l’ouverture de la boîte sera considérée comme superflue. Le professeur a réussi lorsque les élèves manifestent fièrement leur désintérêt pour l’ouverture de la boîte. A ce stade, les écrits qui étaient d'abord descriptifs, constituent un système de preuves consistant. Dans cette nouvelle situation (de validation), les énoncés produits dans la situation de formulation entrent à leur tour dans le milieu.
Pourquoi cette démarche qui n’est pas de nature pédagogique mais didactique ne diffuse pas auprès des enseignants soucieux de faire vivre les mathématiques en classe ? Sans doute parce que trop peu d’entre nous avons eu (pris) le temps de prendre comme objet d’étude la transposition dans les milieux de la formation des résultats avérés dans ceux de la recherche pédagogique. Sans doute aussi parce que les contraintes horaires de la formation initiale des professeurs rendent ces analyses impossibles. Sans doute enfin parce que la formation actuelle des cadres de l’éducation nationale vise plus le management que l’acquisition de compétences en matière de formation des professeurs.
Alors, allons voir les marchands du temple : imaginons un déroulement de cette séquence de classe vu au travers du triptyque «singapourien ». Une phase concrète : les élèves jouent à mettre les jetons dans la tirelire ; ils vident la tirelire, font des paquets de 10 puis répondent à la question initiale. Une phase imagée : les élèves dessinent à leur façon en tenant compte d’une série de lancers de dés. Une phase abstraite au cours de laquelle on écrira les 10 et on comptabilisera le nombre de 10 (à partir du matériel ? de la suite additive ? quelle signification a cette « phrase » que l’on nomme suite additive). Où est-ce que les élèves prévoient ? Où mettent-ils en jeu leurs premières hypothèses de primo-lecteurs de ce que nous appelons une suite additive ? Comment se construisent ces théorèmes en actes, connaissances nécessaires à la construction du savoir visé ? Bien sûr que dans le cadre de cette « méthode », il est impossible de répondre à ces questions primordiales. Pour prendre ces questions comme objet d’étude, les professeurs devraient exiger une formation consistante et surtout ne pas accepter des injonctions à appliquer tel ou tel élixir digne de celui du docteur Doxey (10).
Joël Briand
Maître de conférences en mathématiques 26° section. Il a été chargé pendant de nombreuses années de la formation à l’enseignement des mathématiques des enseignants du premier et du second degré à Bordeaux. Ses recherches portent sur l’enseignement des mathématiques à l’école primaire, particulièrement sur la construction du nombre ainsi que sur une approche des probabilités dans le second degré. Il a dirigé la COPIRELEM pendant 4 ans. Il a participé à la formation des cadres de l’Education Nationale à l’ESEN de Poitiers. Il est régulièrement appelé pour la formation de formateurs du premier degré en mathématiques en France et à l’étranger. Co-auteur de la collection Euro Maths opération maths.
Notes
1 R.Brissiaud dans le café pédagogique :
http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2018/10/27102018Article636762108790059293.aspx
2 Rappelons que seuls les programmes ont force de loi.
3 S. Dehane auditionné en 2008 comme d’autres chercheurs, dont le rédacteur de ces lignes, au ministère par une commission sur l’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire déclarait à l’époque : « je ne prétends pas dire aux enseignants comment enseigner les mathématiques ».
4 « L’enseignement des maths à l’école et la méthode de Singapour », Christine Chambris, Laboratoire de didactique André Revuz (EA 4434), Université de Cergy-Pontoise./ Les quatre opérations au CP, « le » manuel de Singapour et la réussite à l’école. Rémi Brissiaud 26 septembre 2017.
5 « La place de l’expérience dans la construction des mathématiques en classe », Revue « petit x », n° 75, pp. 7-33, 2007.
6 https://www.youtube.com/watch?v=fDaspOBzwMk .
7 BALDWIN J.M. 2007 dictionnaire « inférence probable toute inférence qui ne considère pas sa propre conclusion comme étant nécessairement vraie (bien que les faits soient tels que les prémisses les assertent) ».
8 Je laisse l’entière responsabilité de cette motivation à une collègue avec qui j’ai eu plaisir à travailler !
9 Au sens de G.Vergnaud.
10 Les amateurs de Lucky Luke trouveront la référence aisément
Bibliographie
ASSUDE T. (2002), 'Travaux pratiques au collège ? Conditions et contraintes d'émergence et de vie d'un dispositif', in M. Bridenne (eds) Nouveaux dispositifs d'enseignement en mathématiques dans les collèges et les lycées, IREM de Dijon.
BALDWIN J.M. (2007) dictionnaire Extraits de : Les textes logiques de C.S. Peirce. Traduction : M. Balat, G. Deledalle et J. Deledalle-Rhodes. Nîmes, Champ social éditions, 2007.
BLOCH I. (2002), 'Différents niveaux de modèles de milieux dans la théorie des situations didactiques : recherche d'une dialectique scientifique entre analyse théorique et contingence. Actes de la 11ème Ecole d'Eté de DDM, Corps 2001, pp. 125-140, Grenoble : La Pensée Sauvage.
BRIAND J. ( 2007) « La place de l’expérience dans la construction des mathématiques en classe", Revue « petit x », n° 75, pp. 7-33, 2007.
BRIAND J. ( 2010) « Réflexions actuelles sur les mathématiques à l'Ecole primaire ». Café pédagogique.
BROUSSEAU G. (1988), 'Le contrat didactique : le milieu', RDM, Vol. 9.3
CHAMBRIS, C. (2008) : Relations entre les grandeurs et les nombres dans les mathématiques de l'école primaire. Évolution de l'enseignement au cours du 20ème siècle. Connaissances des élèves actuels. Thèse Université Paris 7.
GONSETH F. (1974), 'Les mathématiques et la réalité', Albert Blanchard
HACKING I. (1989), 'Concevoir et expérimenter', Christian Bourgeois
GRENIER D. & PAYAN Ch., (2002), 'Situations de recherches en classe : essai de caractérisation et proposition de modélisation', Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2002, Paris : Université Paris7.
MOUNIER, E. (2010) : Une analyse de l'enseignement de la numération au CP. Vers de nouvelles pistes. Thèse Université Paris 7.
TEMPIER F. (2013) La numération décimale de position à l’école primaire. Une ingénierie didactique pour le développement d’une ressource. Thèse Université Paris 7.