Les programmes 2015-2016 ont créé l’espoir d’un renouveau de la pédagogie du nombre à l’école, avec comme perspective une réduction importante de l’échec scolaire. En préconisant l’abandon de l’enseignement du comptage-numérotage, ces programmes renouent en effet avec la culture pédagogique de notre école entre 1945 et 1986, une période où les élèves calculaient bien mieux. De plus, 2017 restera comme l’année où, pour la première fois depuis les travaux de Jean Piaget, une grande chercheuse en neuropsychologie cognitive, Elisabeth Spelke, avance de manière forte que le comptage-(numérotage) ne joue pas un rôle central dans la construction du nombre. Ainsi, toutes les raisons de s’engager dans ce renouveau sont aujourd’hui présentes. Pourtant, de lourds nuages planent sur ce mouvement de rénovation. En effet, la composition de la commission Villani-Torossian ainsi que son planning de travail font craindre qu’elle mette en avant de manière insuffisamment circonstanciée une méthode qui se dit de Singapour alors que, à l’opposé de ce qui se fait dans cette cité, elle enseigne le comptage-numérotage. Reprenons l’histoire à son début.
1986, un changement radical dans la pédagogie du nombre en France
Le 30 janvier 1986, Jean-Pierre Chevènement signe une circulaire précisant le rôle et les missions de l’école maternelle. Or, de façon surprenante, on y lit que « progressivement, l’enfant découvre et construit le nombre. Il apprend et récite la comptine numérique ». En associant étroitement la construction du nombre à l’apprentissage de la comptine numérique et, donc, au comptage, cette circulaire prend en effet le contrepied de toutes les recommandations faites depuis 1945, y compris celles qui ont suivi la réforme dite des « mathématiques modernes » en 1970.
Citons par exemple un couple de pédagogues (Fareng & Fareng, 1966), conseillers pédagogiques d’une célèbre inspectrice générale, Suzanne Herbinière-Lebert : « [...] cette façon empirique [le comptage] fait acquérir à force de répétitions la liaison entre le nom des nombres, l'écriture du chiffre, la position de ce nombre dans la suite des autres, mais elle gêne la représentation du nombre, l'opération mentale, en un mot, elle empêche l'enfant de penser, de calculer ». Ainsi, l’enseignement du comptage n’était pas recommandé pour une raison majeure : il empêcherait l’enfant de penser. On ne peut guère imaginer de reproche plus grave sous la plume d’un pédagogue.
Pourquoi l’enseignement du comptage tel qu’il se fait habituellement empêche l’enfant de « penser » ?
Précisons de quelle nature est l’obstacle à la pensée évoqué par les Fareng. Comprendre le nombre 5, ce n’est pas seulement savoir représenter une quantité de 5 unités en comptant-numérotant 12345, 5 (la première occurrence est une sorte de numéro, la seconde désigne la quantité). En effet, il faut, de plus, maîtriser les décompositions du nombre 5, c’est-à-dire savoir qu’on peut former une quantité de 5 unités en ajoutant une nouvelle unité à une quantité de 4, en ajoutant 2 unités à une quantité de 3, etc. Toutes ces façons de faire conduisent à des quantités de même taille. C’est ainsi qu’un autre célèbre pédagogue, Henri Canac, écrivait en 1955 que connaître un nombre donné, c’est en maîtriser « ses diverses décompositions en nombres moins élevés que lui ». On pourrait ajouter : c’est de plus savoir l’utiliser pour en former de plus grands.
Le nombre ne sert pas seulement à garder la mémoire des quantités, il permet de mettre en relation les quantités entre elles. Du point de vue épistémologique, il est intéressant de repérer que Newton est vraisemblablement le premier à avoir avancer une telle conception des nombres, rompant avec celle avancée par Euclide (Brissiaud, 2014).
C’est ainsi qu’au cours préparatoire, deux mois après la rentrée, on reconnait facilement les quelques élèves qui n’ont pas encore compris ce qu’est un nombre et qui risquent un échec grave et prolongé. Il suffit d’utiliser le petit test suivant. Face à un tas de jetons, on demande à l’enfant d’en donner 4. Sauf cas de handicap, il sait le faire en numérotant les jetons qu’il sort un à un du tas : 1234, 4. Cependant, si l’adulte dit qu’il a changé d’avis et qu’il veut 5 jetons, l’enfant en difficulté est obligé de reprendre le numérotage depuis le début 12345, 5. Il ne sait pas qu’une quantité de 5 jetons s’obtient en ajoutant 1 nouveau jeton à la quantité de 4 déjà formée (5=4+1), il est enfermé dans la représentation des quantités par une suite de numéros : 5, c’est 12345, 5 et ce n’est rien d’autre.
Lorsqu’on enseigne le comptage comme cela se fait habituellement, cet outil permet aux enfants de former n’importe quelle quantité sans qu’ils en maitrisent une quelconque décomposition et, chez les plus fragiles, l’habitude du comptage-numérotage s’érige en obstacle au progrès (les raisons sont expliquées dans Brissiaud 2013 et 2014).
Les pédagogues de la période 1945-1970 connaissaient cet effet délétère sur le long terme de l’enseignement du comptage-numérotage. En effet, une lecture attentive de la citation des Fareng montre qu’ils lancent une sorte d’avertissement : attention, si un pédagogue enseigne le comptage-numérotage à de jeunes enfants plutôt que d’enseigner directement les diverses décompositions des nombres, ce pédagogue aura l’impression que ses élèves progressent du fait qu’ils apprendront le nom des quantités, qu’ils apprendront l’ordre des chiffres… mais ils n’apprendront pas à calculer, ils n’entreront pas réellement dans le nombre. Sur le long terme, le comptage-numérotage qu’on leur a appris les « empêchera de penser » les relations entre les quantités, cela fera obstacle à leur progrès. On remarquera d’ailleurs qu’Henri Canac (1955) qualifiait ces élèves de « mal débutés ».
Quand les sciences cognitives font fausse route et envoient droit dans le mur
Comment la circulaire du 30 janvier 1986 a-t-elle été possible ? Peu de temps auparavant, en 1983, une chercheuse états-unienne, Rochel Gelman, avait publié un article en français dans la revue La Recherche. Il s’intitulait « Les bébé et le calcul ».
Dans le domaine des apprentissages numériques, Rochel Gelman est la chercheuse en sciences cognitives dont l’influence a été la plus importante ces trente dernières années. En fait, le titre « Les bébés et le comptage » aurait été préférable parce que sa théorie consiste à affirmer que les bébés comprennent de manière innée les « principes » de la représentation des quantités à l’aide d’un comptage-numérotage. A savoir : 1°) le fait que chaque numéro doit être apparié avec une unité et une seule (principe de correspondance terme à terme), 2°) le principe selon lequel l’ordre des numéros doit être respecté (principe d’ordre stable) et 3°) celui selon lequel le dernier mot prononcé n’est pas seulement un numéro parce qu’il désigne la quantité (principe qu’elle appelle cardinal). Bref, selon Rochel Gelman, les enfants auraient de manière innée l’équipement cérébral leur permettant de comprendre comment le comptage-numérotage 12345, 5 permet de garder la mémoire d’une quantité. Il n’y avait plus qu’un pas à franchir pour décider d’enseigner le comptage-numérotage à l’école maternelle, faisant fi des avertissements des pédagogues de la période 1945-1986 quant aux conséquences à long terme d’un tel enseignement.
C’est ce qui fut fait avec la circulaire du 30 janvier 1986 qui, concernant la construction du nombre, avait été rédigée de concert par une inspectrice générale de l’époque, Josette Fargeas, et par une toute nouvelle équipe de l’Institut National de Recherche Pédagogique(INRP). Celle-ci, avec ce texte, prenait le contrepied des propositions pédagogiques de l’équipe précédente.
Le premier texte théorique qui a défendu de manière développée ce changement de cap pédagogique est un ouvrage publié par l’Equipe de Recherche Mathématiques à l’Ecole (Ermel) publié en 1990 et destiné aux enseignants de Grande Section de maternelle et à leurs formateurs. Dans sa préface, Josette Fargeas écrivait : « Depuis le début des années 70, on le sait, les activités numériques avaient pratiquement disparu de l’école maternelle au profit d’exercices formels portant sur la logique plus que sur le nombre. Elles semblent être sur le point d’y retrouver une place… ».
De fait, étant professeur de mathématiques en École Normale d’Instituteurs à partir de 1975 et allant fréquemment dans des classes maternelles, je peux attester qu’à cette époque, l’enseignement du comptage y avait disparu (c’est l’époque piagétienne de l’école maternelle). Et quand il est réapparu, les critiques qui lui étaient faites auparavant, étaient complètement oubliées. C’est ainsi que, toujours dans la préface de Ermel 1990, Josette Fargeas continue : « s’agissant des jeunes enfants, l’hypothèse est posée que dans la genèse du concept de nombre, le nombre pour compter joue le premier rôle et le plus important » et, de la lecture de l’ouvrage, émerge un cadre théorique parfaitement clair : la première fonction du nombre n’est plus de mettre en relation les quantités, elle est de garder la mémoire des quantités grâce au comptage-numérotage. C’est cette conception du progrès, celle de Rochel Gelman, qui a prévalu dans les programmes pour l’école française entre 1986 et 2015, date des programmes actuels.
L’effondrement des performances en calcul dans la période 1987-1999
Des chercheurs de la DEPP (note 08.38 de décembre 2008) ont comparé les performances entre 1987 et 1999 d’un échantillon représentatif des élèves de CM2, en s’appuyant sur les items communs à différentes passations pour rendre la comparaison possible. Le résultat est très clair : on observe une dégradation des performances très significative entre 1987 et 1999. La moyenne baisse des 2/3 de l’écart-type initial, ce qui est considérable. Dans des enquêtes analogues, cela correspond à une année entière d’apprentissage en moins.
Certaines causes peuvent être écartées. La période pendant laquelle les performances se dégradent (87-99) n’est pas de celles qui voient les moyens accordés à l’école s’amenuiser : il n’y a pas de fermetures de classes, pas de diminution du nombre de jours de travail par semaine ; la formation initiale et continue est alors la plus longue que l’école française ait jamais connue, etc. On pourrait penser à évoquer le phénomène de ghettoïsation des banlieues : la condition sociale de certains enfants se dégradant pendant cette période, leurs performances en calcul auraient fait de même. Mais la même étude montre que les performances en calcul des enfants de cadres se sont dégradées dans les mêmes proportions que celles des enfants d’ouvriers. On pourrait penser à évoquer des phénomènes généraux tels que le temps de sommeil, le temps passé devant la playstation, etc. Mais la même étude montre que les performances en lecture ne se dégradent pas entre 1987 et 1997 et on comprendrait mal que ces facteurs généraux n’aient dégradé que les performances en calcul et pas les autres.
Reste un facteur d’ordre pédagogique : la baisse constatée suit très exactement le moment où le ministère se met à recommander l’enseignement du comptage-numérotage, à rebours de ce que tous les pédagogues français préconisaient auparavant.
Dans cette perspective comparatiste, un dernier point mérite d’être signalé. Les élèves de CM2 qui, en 1987, calculaient bien mieux qu’aujourd’hui, étaient scolarisés en maternelle avant 1982. Ils n’avaient donc eu aucun enseignement des nombres en maternelle et même au début du CP. Avant 1986, les premières leçons sur les nombres y commençaient en décembre ; arrivés en CM2, ces élèves qui avaient commencé tardivement leur apprentissage scolaire des nombres, avaient une année d’avance environ sur ceux d’aujourd’hui !
Au lieu d’être abandonné, le comptage-numérotage est renforcé entre 1999 et 2015 !
Il vaut la peine de relire aujourd’hui l’évaluation que le ministère a proposée en 2011 pour la GS de maternelle : quand un enfant échouait à dire combien il y a d’étoile dans une collection de 15 étoiles dessinées, l’enseignant devait s’assurer que l’enfant connaissait bien la comptine numérique, qu’il savait mettre en correspondance 1 à 1 chaque mot avec une unité et, enfin, qu’il savait que le dernier mot est la réponse à la question posée. Bref, jusqu’en 2015, pour traiter la difficulté scolaire, le ministère recommandait d’enseigner le comptage-numérotage toujours plus loin (jusqu’à 30) et de plus en plus tôt (dès la Petite Section). Les élèves, évidemment, faisaient des progrès… en comptage-numérotage !
C’est ainsi qu’en septembre 2013, la DEPP a publié une autre note intitulée : « Forte augmentation du niveau des acquis des élèves à l’entrée au CP entre 1997 et 2011 ». Comme c’était la première bonne nouvelle depuis longtemps, la presse nationale en a fait largement écho. L’école française commençait enfin à redresser la barre ! Or, l’examen des épreuves utilisées montrait clairement qu’elles évaluaient presque exclusivement le résultat d’un entrainement au comptage-numérotage. Une seule parmi les tâches proposées ne relevait pas de cet entrainement et n’était pas mieux réussie, en 2011, que si les enfants avaient répondu au hasard.
L’épreuve de vérité est survenue six mois plus tard, en mai 2014, avec la publication d’une nouvelle étude de la DEPP dont le titre complet est « L’évolution des acquis des élèves en début de CE2 entre 1999 et 2013 : les progrès observés à l’entrée au CP ne sont pas confirmés ». Dans cette étude, les résultats des élèves à l’entrée du CE2 apparaissent globalement stables entre 1999 et 2013. L’analyse épreuve par épreuve montre cependant que, dès qu’une épreuve sollicite l’usage de décompositions des nombres, c’est-à-dire l’usage de « vrais nombres », les résultats sont en régression. Ainsi, l’une des épreuves était un problème dont la solution s’obtient assez directement lorsqu’on sait que 87 = 8 dizaines + 7 : « La directrice de l’école a 87 lettres à envoyer. Elle doit mettre un timbre sur chaque lettre. Les timbres sont vendus par carnets de dix timbres. Combien de carnets doit-elle acheter ? » Entre 1999 et 2013, le taux de réussite passe de 32% à 18%. Il y a moins d’élèves en 2013 qu’en 1999 qui comprennent l’écriture des nombres à l’entrée au CE2 (rappelons qu’en 1999 les performances étaient déjà dégradées).
Nos prédécesseurs avaient bien raison de nous mettre en garde sur les conséquences à long terme d’un enseignement du comptage-numérotage.
A partir de 2015, sciences cognitives et pédagogie sont enfin réconciliées !
Cela fait bien longtemps que l’auteur de ces lignes souligne la fragilité de la théorie de Rochel Gelman (Brissiaud, 1989) ainsi que la fragilité de la principale thèse qui a pris son relais (Brissiaud, 2003) : celle selon laquelle le système inné de représentation de l’amplitude d’une collection ou de la durée d’une séquence sonore, serait un déterminant majeur du progrès des enfants vers le nombre (en anglais, on parle de représentation innée de la « magnitude »). De plus, dans divers ouvrages et articles, j’ai essayé de montrer que l’ensemble des résultats expérimentaux en sciences cognitives est cohérent avec ce que les grands pédagogues de la période 1945-1970 disaient du comptage.
Ces rappels et analyses ont été suffisamment convaincants pour que les programmes 2015 pour la maternelle et 2016 pour l’élémentaire effectuent un véritable changement de cap. C’est ainsi qu’on lit dans le programme de la maternelle que « les activités de dénombrement éviteront le comptage-numérotage ». Par ailleurs, les attendus de fin de maternelle fixent aujourd’hui comme objectif les 10 premiers nombres seulement, mais, évidemment, ils mettent l’accent sur la maîtrise de leurs décompositions.
Il faut noter également qu’un appui de taille est apporté par les travaux de sciences cognitives les plus récents. Si, depuis les travaux de Jean Piaget, aucun grand théoricien de la genèse du nombre n’avait remis en question l’idée que l’apprentissage du comptage est central dans la construction du nombre, c’est désormais chose faite : Elisabeth Spelke, professeur à Harvard et nouvelle membre du Conseil scientifique de l’Éducation nationale, prend nettement position dans ce qu’il faut considérer comme l’article scientifique de l’année 2017 : « [I reject] the thesis that counting is central to number. »
Quand on connait la littérature scientifique sur le sujet, cette minimisation du rôle du comptage dans les progrès en matière d’enseignement du nombre apparaît comme un véritable tournant, tournant qui est en phase avec les actuels programmes de notre école.
Si le comptage n’est pas central dans la construction du nombre, quel est le principal facteur qui expliquerait le progrès ? Elisabeth Spelke considère qu’il est d’ordre langagier. Par conséquent, la manière dont les adultes parlent les nombres aux enfants serait cruciale : « 5 jetons, c’est 3 jetons et encore 2 jetons ; c’est aussi 4 jetons et encore 1 jeton », par exemple. Sa théorie est complètement cohérente avec les recommandations des grands pédagogues de la période 1945-70. Elle conduit notamment à enseigner différemment le comptage, en théâtralisant la correspondance entre chaque mot et l’ensemble des unités déjà prises en compte (c’est très différent du principe de correspondance terme à terme de Rochel Gelman !).
Ainsi, lisons cette recommandation de René Brandicourt qui date de 1962 : « À ce sujet […] nous signalons le danger qu’il y a, dans le comptage, à énoncer les nombres en prenant les objets un à un. C’est en posant la 2e assiette sur la 1re que je dis deux, non en la prenant en mains (la 2e n’est pas deux, elle est une) ; ibid. pour la 3e, la 4e… C’est en examinant la pile successivement constituée que j’énonce deux, trois, quatre… six. ». C’est cette façon de compter que j’ai appelée « comptage-dénombrement » et dont il faut recommander l’enseignement.
Bien entendu, l’enseignement du comptage-dénombrement peut se faire de manière encore plus explicite : « un, plus un, deux ; plus un, trois ; plus un, quatre… ».
A contre-courant, la « méthode de Singapour » (version française) pratique le comptage-numérotage !
Rappelons que, pour la Grande Section et le début du CP, l’appellation « méthode de Singapour » apposée à des ouvrages commercialisés en France, constitue une véritable arnaque : les activités proposées sont basées sur le comptage-numérotage, elles sont à l’opposé de ce qui se fait réellement à Singapour (Brissiaud 2017). De manière générale, la culture pédagogique des pays asiatiques est proche de celle de notre pays entre 1945 et 1986 et on n’imagine pas l’école de Singapour enseigner le comptage-numérotage. De fait, quand on compare la soi-disant « méthode de Singapour GS » commercialisée dans notre pays avec les ressources que l’éditeur de la méthode originale publie pour le Kindergarten, l’écart est considérable. En France, aujourd’hui, il n’y a pas pire méthode pour la GS que celle qui se dit « de Singapour ». Le guide pédagogique du CP, lui, est un véritable cours d’enseignement du comptage-numérotage selon les principes de Rochel Gelman.
Alors que les programmes récents ont fixé le cadre pour un renouveau de la pédagogie du nombre en France, alors que les recherches récentes en sciences cognitives confortent ce mouvement de renouveau, la mise en avant du comptage-numérotage via la traduction française de la méthode de Singapour, risquerait d’annihiler cet espoir de renouveau.
Or, de ce point de vue, la composition de la commission Villani-Torossian inquiète. Elle n’a pas été rendue publique mais on en a un aperçu à travers les tweets de Charles Torossian et l’on découvre que la consultante internationale qui a coordonné la « traduction » de la méthode de Singapour en fait partie. L’objectif de cette commission étant la recherche de « pédagogies efficaces » (l’expression est reprise d’un des tweets cités plus haut), cette personne est évidemment juge et partie.
Le planning des travaux de la commission inquiète tout autant : lui non plus n’a pas été rendu public mais, toujours à partir de la même source, on peut constater que l’éditeur de la traduction française de la méthode de Singapour est invité à plusieurs reprises et que, de manière générale, un nombre important de séances de travail est consacré à cette méthode.
La commission se livrera-t-elle à une analyse suffisamment circonstanciée de la traduction française de la méthode de Singapour ? Soulignera-t-elle la discordance entre la version originale et sa « traduction » concernant l’enseignement du comptage-numérotage ou passera-t-elle sous silence cette problématique alors qu’elle est au cœur des débats pédagogiques et scientifiques ?
Aujourd’hui, par ailleurs, il n’y a pratiquement pas de formation des professeurs des écoles à la nouvelle approche préconisée par les programmes 2015-2016. Parmi les mesures préconisées par la commission, y aura-t-il celle d’élaborer un plan de formation visant à expliquer aux professeurs des écoles les changements majeurs survenus avec ces programmes et les raisons de ces changements ?
Nous le saurons bientôt.
Rémi Brissiaud
Maitre de Conférences honoraire de psychologie cognitive
Chercheur associé au Laboratoire Paragraphe, EA 349 (Université Paris 8)
Membre du conseil scientifique de l'AGEEM
Bibliographie
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Brissiaud R. (2003). Comment les enfants apprennent à calculer (nouvelle édition) : Le rôle du langage, des représentations figurées et du calcul dans la conceptualisation des nombres. Paris : Retz.
Brissiaud, R. (2013) Apprendre à calculer à l’école – Les pièges à éviter en contexte francophone. Paris : Retz
Brissiaud, R. (octobre 2014) Pourquoi l’école a-t-elle enseigné le comptage-numérotage pendant près de 30 années ? Une ressource à restaurer : un usage commun des mots grandeur, quantité, nombre, numéro, cardinal, ordinal, etc. Texte mis en ligne par la Commission Française pour l’Enseignement des Mathématiques (cfem).
Brissiaud, R. (décembre 2017) Méthode de Singapour et Lévothyrox. Texte mis en ligne sur le Café Pédagogique
Canac, H. (1955) L'initiation au calcul entre 5 et 7 ans. In F. Brachet, H. Canac & E. Delaunay (ed.), L'enfant et le nombre, p.9-27. Paris : Didier.
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