Le ministère vient de faire paraître une circulaire indiquant des « ajustements à la mise en œuvre des programmes de 2008 »(1) . Les équipes des circonscriptions vont, bien entendu, se livrer à une sorte d’exégèse de ce texte, tentant d’y percevoir des indications quant à la façon dont la réflexion ministérielle s’oriente aujourd’hui. Comment analyser ce texte concernant l’un des thèmes critiques du moment : les premiers apprentissages numériques ?
Un point positif : la mise en avant des stratégies de décomposition/recomposition
Dans la partie du texte concernant les apprentissages numériques au cycle 2, on lit : « (La) connaissance du nombre, surtout centrée en maternelle sur des activités de manipulation permettant de dénombrer des collections, doit aboutir en fin de cycle 2 à une connaissance et une utilisation des principes de la numération de position notamment travaillée au moyen de techniques de composition/décomposition des nombres. » Il faut se réjouir que l’importance des stratégies de décomposition/recomposition soit notée dans cette partie de texte, même si la portée du propos est limitée du fait qu’il ne concerne que la compréhension de la numération de position et donc, les décompositions des nombres qui sont portées par le langage, celles du type : 128 = 100 + 20 + 8. Notons qu’une plus grande précision aurait été bienvenue : tous les lecteurs penseront-ils aux décompositions qui ne sont pas portées par le langage mais dont nous allons voir dans la suite de ce texte qu’elles sont cruciales : 128 = 12 dizaines + 8 ?
De plus, il est dommage que l’importance des stratégies de décomposition / recomposition ne soit pas rappelée concernant la mémorisation des résultats d’additions ou de soustractions élémentaires. On lit dans le texte : « l'automatisation de la connaissance de « faits numériques » augmente considérablement les capacités de « calcul intelligent », où l'élève comprend ce qu'il fait et pourquoi il le fait. » On perçoit une évolution par rapport au texte de 2008 dont une caractéristique importante était la mise en avant de deux mots d’ordre constituant apparemment des injonctions contradictoires : « acquisition d’automatismes » et « intelligence de leur signification ». Ce n’est pas sans raisons que les professeurs des écoles ont résisté à de telles recommandations : l’acquisition d’automatismes repose en effet sur la répétition et celle-ci est loin de toujours accompagner la compréhension. Une stratégie pédagogique tentante consiste même à faire répéter à l’envie ce que l’élève n’a pas compris, en espérant le graver dans sa mémoire.
Le texte proposé ne lève pas la difficulté parce qu’il ne précise pas comment s’effectue la mémorisation des « faits numériques », celle des résultats d’additions et des soustractions élémentaires. Tel que le texte est rédigé : « l’automatisation de la connaissance des faits numériques augmente considérablement les capacités de calcul intelligent », on a l’impression que le progrès irait de l’automatisation / répétition, vers les « calculs intelligents ».
Or, rappelons l’état de la recherche dans le domaine : des résultats expérimentaux récents (2) montrent que les résultats des additions élémentaires, même lorsqu’il s’agit de petits nombres (résultat < 10), ne sont pas mémorisés par association verbale (sous forme déclarative, comme disent les psychologues (3) ). Comment s’effectue leur mémorisation ? La question n’est pas tranchée mais l’« état de la science » est compatible avec la réponse apportée par de nombreux pédagogues : la mémorisation résulte de l’automatisation de stratégies de décomposition / recomposition : 4 + 3 = 4 + 1 + 2 = 5 + 2 = 7 ou bien encore : 4 + 3 = 3 + 4 = 3 + 3 + 1 = 7, par exemple. Selon cette réponse, les « calculs intelligents » ne suivent pas la mémorisation, ils en sont la base. La mémorisation ne précède pas les « calculs intelligents », elle les accompagne et en résulte.
Bref, on perçoit une tentative d’aider les enseignants à sortir des injonctions contradictoires qui étaient celles du programme de 2008, mais les maladresses d’expression empêchent cette tentative d’aboutir.
L’obligation d’étudier les nombres jusqu’à 1000 au CE1 : une occasion manquée
On lit également dans le texte : « Les élèves de cycle 2 doivent connaître les nombres jusqu'à 1000 à la fin du CE1. Cette préconisation est adaptée aux compétences des élèves de cycle 2. » En est-on si sûr ? Sur quels résultats s’appuie l’affirmation que les élèves pourraient dans leur quasi-totalité comprendre l’écriture des nombres jusqu’à 1000 en fin de CE1 ?
Comprendre un nombre comme 165, par exemple, c’est s’être forgé la conviction que pour former une collection de 165 unités, on peut évidemment réunir 1 groupe de cent (1 centaine), 6 groupes de 10 (6 dizaines) et encore 5 unités. Mais cela ne suffit pas, il faut également savoir qu’on peut réunir 16 dizaines et 5 unités. De nombreux chercheurs insistent aujourd’hui sur le caractère crucial d’une telle connaissance (4). Montrons qu’il est indispensable qu’un élève comprenne que 16 dizaines et 160 unités expriment le même nombre parce que, sinon, il va devoir apprendre le phénomène de la retenue dans les différentes opérations posées (addition, soustraction, multiplication) comme autant de « règles » qu’il s’agit de mémoriser (5).
Pour calculer 73 + 91 en colonnes, par exemple, l’enfant est conduit, au rang des dizaines, à calculer 7 dizaines plus 9 dizaines, 16 dizaines. S’il comprend que 16 dizaines = 160 et s’il combine 160 avec le total des unités (4), il obtient immédiatement la solution 164. Cela lui permet de découvrir la règle relative à ce que l’on pose et ce que l’on retient. Pour calculer 165 – 73 en colonnes, par exemple, il est impossible au rang des dizaines de calculer 6 dizaines moins 7 dizaines. L’élève qui sait que 165, c’est 16 dizaines et encore 5 unités, lui, ne rencontre aucun obstacle : il calcule 16 dizaines moins 7 dizaines. Pour calculer 21 x 8 en colonnes, par exemple, il faut, au rang des dizaines, calculer 8 fois 2 dizaines, c’est-à-dire 16 dizaines. Là encore, l’élève qui comprend que 16 dizaines et 160 sont le même nombre ne rencontre aucune difficulté et n’a pas de nouvelle règle à apprendre. Et s’il s’agit de calculer 168 divisé par 2 avec l’objectif d’aller vers la technique écrite, c’est-à-dire en procédant par partages successifs des centaines, dizaines et unités, l’élève qui sait que le nombre 168 peut s’exprimer sous la forme 16 dizaines et encore 8, va commencer par partager les 16 dizaines en 2. Là encore, il existe une règle fameuse qui est susceptible de venir se substituer à cette compréhension : du fait que « 1 » est plus petit que le diviseur, « 2 », il conviendrait de « prendre » deux chiffres (16) au dividende. Une règle de plus…
De manière générale, en l’absence de compréhension, l’enseignement se fait « à coups de règles » et même lorsqu’il s’agit de règles symboliques comme les précédentes, cette accumulation de règles non comprises est une violence faite aux élèves. Or, il est bien plus facile de comprendre que 165, c’est 16 dizaines et encore 5, que de comprendre que 865, c’est 86 dizaines et encore 5. L’expliquer dans le détail demanderait un commentaire un peu technique mais il est aisé de comprendre qu’un contrôle sémantique d’expressions telles que : 10 dizaines = 100 et 16 dizaines = 10 dizaines + 6 dizaines = 160, est plus facile que celui de : 80 dizaines = 800 et, donc, que celui de : 86 dizaines = 860.
Pourquoi ne pas offrir aux enseignants la possibilité de se limiter à l’étude des 200 premiers nombres au CE1, en précisant qu’il s’agit de favoriser une étude approfondie de ces nombres, c’est-à-dire une étude qui met en relation les opérations et la compréhension de la numération de position ? Le texte ministériel recommande cette mise en relation, mais il ôte aux enseignants le moyen le plus sûr d’y parvenir : étudier les nombres et les opérations dans le domaine numérique plus limité des 200 premiers nombres afin de favoriser la compréhension des relations du type : 168, c’est 16 dizaines et encore 8, relations qui sont cruciales pour relier la numération de position et les opérations.
Tout conduit à penser qu’en fin de CE1, aujourd’hui, très peu d’élèves comprennent vraiment l’écriture des 200 premiers nombres. Ainsi, rappelons-nous, ce problème posé à l’entrée du CE2 en octobre dernier dans le cadre d’une étude de la DEPP récemment publiée (6) : « La directrice de l’école a 87 lettres à envoyer. Elle doit mettre un timbre sur chaque lettre. Les timbres sont vendus par carnet de 10 timbres. Combien de carnets doit-elle acheter ? ». Chez les élèves de CE2, en octobre 1999, le pourcentage de réussite était de 32%. Or, chez ces élèves, l’effondrement des performances en calcul qui s’est produit entre 1987 et 1999 (7) était vraisemblablement déjà effectif. On sera d’ailleurs d’accord sur le fait que 32% de réussite, ce n’est pas beaucoup. Malheureusement, ce taux était encore plus bas en octobre 2013 lors de la dernière rentrée scolaire : 18%. Et cela alors que la comparaison 1999-2013 des résultats en français, ne met pas en évidence une telle baisse en compréhension des énoncés. C’est donc bien la partie mathématique de la tâche qu’il convient d’examiner (8). Or, ce problème permet d’évaluer une compréhension approfondie de la numération décimale : 87, c’est 8 groupes de 10 et encore 7 (la réponse correcte est 9 mais la réponse 8 était considérée comme juste).
Quand seulement 18% des élèves ont une compréhension approfondie de l’écriture des 100 premiers nombres en fin de CE1, n’est-ce pas un objectif raisonnable d’y viser une compréhension approfondie des 200 premiers nombres plutôt que des 1000 premiers ? Et, les résultats actuels étant ce qu’ils sont, ne serait-il pas raisonnable d’offrir aux enseignants la perspective de les améliorer en faisant étudier les nombres moins loin au CE1, mais en les faisant mieux étudier ? D’autant plus que ce type d’adaptation des programmes correspond à ce que les professeurs des écoles semblent réclamer.
Entendons-nous bien : il ne s’agit évidemment pas d’exiger que tous les enseignants « basculent » dans leurs choix didactiques en n’enseignant que les 200 premiers nombres au CE1, il s’agit seulement d’offrir à ceux qui le souhaitent la possibilité d’un choix didactique fréquent à l’étranger et qui, lorsqu’on l’examine de manière raisonnée, est susceptible d’améliorer chez les élèves ce qui fait le plus défaut : la compréhension. Techniquement, tout cela était possible : dans le cadre des futurs nouveaux programmes, le cycle 2 englobera la classe de CE2 avec vraisemblablement, à ce niveau, l’objectif d’étudier les 10 000 premiers nombres. Dans un premier temps au moins, c’est-à-dire le temps d’évaluer tout cela, pourquoi ne pas laisser aux professeurs des écoles la possibilité d’adopter des progressions différentes relativement aux domaines numériques respectivement étudiés au CP, au CE1 et au CE2 ? Là encore, si des documents d’accompagnement explicitent les raisons et les enjeux des différents choix possibles, les enseignants auront la possibilité d’exercer leur liberté pédagogique en toute responsabilité. Le ministère avait la possibilité d’anticiper sur un tel avenir, c’est une occasion manquée.
Une façon ambigüe de s’exprimer concernant le nombre à l’école maternelle
Proposons à nouveau la lecture d’un extrait déjà reproduit ici, mais en y soulignant ce qui risque d’apparaître comme des caractéristiques respectives de l’école maternelle et du cycle 2 : « (La) connaissance du nombre, surtout centrée en maternelle sur des activités de manipulation permettant de dénombrer des collections, doit aboutir en fin de cycle 2 à une connaissance et une utilisation des principes de la numération de position notamment travaillée au moyen de techniques de composition/décomposition des nombres. » Cela risque malheureusement d’être compris de la façon suivante : à l’école maternelle, les enfants comptent alors qu’au cycle 2, il faut tendre vers l’usage de stratégies de décomposition-recomposition. En effet, pour la plupart des enseignants les mots « dénombrer », celui qui figure dans le texte, et « compter » sont synonymes. Le Larousse définit d’ailleurs le mot « dénombrer » comme « faire le compte des unités d’un ensemble ».
Rappelons comment ces notions devraient s’articuler dans le vocabulaire professionnel d’un enseignant :
• Dénombrer c’est accéder au nombre et il existe deux types de procédures le permettant : le comptage-dénombrement dans lequel les unités sont explicitées une à une et les stratégies de décomposition-recomposition dans lesquelles ce n’est pas le cas (5 est reconnu comme 3 + 2 plutôt que comme 1 + 1 + 1 + 1 + 1, par exemple).
• Le comptage-dénombrement est un comptage dont l’enfant comprend le calcul sous-jacent : 1 ; plus 1, 2 ; plus 1, 3 ; plus 1, 4 ; plus 1, 5. Dans un comptage-dénombrement, chacun des mots 2, 3, 4… successivement prononcés, réfère à une pluralité : celle résultant de l’ajout d’une nouvelle unité. Ce comptage possède la propriété que Jean Piaget, dans les années 1970, appelait « additivité du comptage », Pierre Gréco : « itération de l’unité » et que de nombreux chercheurs anglo-saxons, qui la redécouvrent aujourd’hui, appellent : « principe de succession ».
• La notion de comptage-dénombrement s’oppose à celle de comptage-numérotage. Cette dernière procédure, lorsqu’un enfant en fait un usage « performant », c’est-à-dire lorsqu’il n’est plus dans un comptage mécanique, lui permet d’accéder à la quantité : lorsqu’il compte : « le 1, le 2, le 3, le 4, le 5, le 6, le 7 », il sait que sa numérotation va plus loin et dure longtemps que lorsqu’il compte : « le 1, le 2, le 3, le 4, le 5 ». Cependant, sauf à devenir un comptage-dénombrement, un comptage-numérotage n’explicite aucune relation entre les quantités successivement engendrées, il n’a pas le nombre pour issue. Ce n’est pas un dénombrement.
Pour un grand nombre d’enseignants, comme pour le sens commun, les mots « dénombrement » et « comptage » fonctionnent comme synonymes, avons-nous dit, or, depuis 25 ans environ, via la diffusion des travaux d’une psychologue américaine, Rochel Gelman, le comptage est lui-même assimilé au comptage-numérotage (le 1, le 2, le 3, le 4…). Si, par une sorte de syllogisme (dénombrement = comptage et comptage = comptage-numérotage), les enseignants lisant le texte ministériel sont nombreux à penser que l’école maternelle serait une école du comptage-numérotage alors que l’école primaire serait celle des stratégies de décomposition-recomposition, c’est grave. À l’école maternelle, en effet, il faut mettre l’accent sur les stratégies de décomposition-recomposition dès la Petite Section. J’ai eu l’occasion de le rappeler récemment (9) : les didacticiens qui, au début des années 1990, s’opposaient à ce que ce type de stratégies soient privilégiées avec les 3-4 premiers nombres (2, c’est 1 et encore 1 ; 3, c’est 1, 1, et encore 1 ; 3 c’est aussi 2 et encore 1, etc.) semblent aujourd’hui partager cette idée. Il est donc raisonnable de penser qu’elle sera retenue par les futurs programmes pour l’école maternelle dans la partie concernant la PS et la MS.
Rappelons enfin qu’aujourd’hui, il serait imprudent de considérer les précisions lexicales précédentes comme tatillonnes et inutiles : c’est tout au contraire l’imprécision qui fait un tort considérable à l’école française. Ainsi, considérons ce que Stanislas Dehaene écrivait dans le journal Le Monde en décembre 2013 (10) : « Dans la ZEP de Gennevilliers, une maternelle, en s'appuyant sur le matériel pédagogique de Maria Montessori et les principes cognitifs que je viens d’esquisser, obtient des résultats exceptionnels : avant même l'entrée en CP, tous les enfants savent (…/…) faire des calculs à quatre chiffres ! » Stanislas Dehaene est un grand scientifique et il s’appuie évidemment sur des résultats expérimentaux pour affirmer cela. Cependant, lorsqu’on examine le protocole expérimental en question (il s’agit d’une expérience de Gilmore), on s’aperçoit que les « calculs à quatre chiffres » évoqués sont des calculs approximatifs portant sur les quantités évoquées par les écritures chiffrées considérées comme des numéros, ils ne portent pas sur les nombres auxquels les mêmes enfants n’ont évidemment aucun accès.
La précision lexicale est aujourd’hui un impératif si l’on veut que les enseignants accueillent ce genre d’écrit de manière critique et soient en mesure d’expliquer aux parents ayant lu Stanislas Dehaene ou l’ayant entendu à la radio, que leur enfant qui étudie les 10 premiers nombres en GS ne prend pas du retard mais très vraisemblablement de l’avance. Le texte ministériel des ajustements de programmes ne donne malheureusement pas l’exemple d’une telle précision lexicale.
Et pour conclure…
Résumons : d’un côté, l’évocation de stratégies de décomposition-recomposition, la préconisation de lier l’étude de la numération de position à celle des opérations, ce dont il faut se réjouir, de l’autre, des injonctions de favoriser l’automatisation et la compréhension qui restent mal articulées, la nécessité d’étudier les 1000 premiers nombres au CE1 affirmée de manière dogmatique, la possibilité de n’étudier que les 200 premiers nombres qui n’est pas offerte alors qu’elle aurait constitué un projet pédagogique stimulant dans la perspective de réduire l’échec, un mode d’expression concernant le nombre à l’école maternelle qui, par son imprécision lexicale, est susceptible de conduire aux pratiques pédagogiques dont tout laisse penser qu’elles jouent un rôle important dans la dégradation des performances des élèves.
Le texte ministériel était une occasion de souligner l’importance des stratégies de décomposition-recomposition dès le début de la scolarité afin de favoriser la compréhension de ce qu’est un nombre, l’importance du même type de stratégies au cycle 2 afin de favoriser la mémorisation des « faits numériques additifs et soustractifs » et de favoriser la compréhension des opérations en liaison avec la numération de position. Il était une occasion d’autoriser une étude plus progressive des nombres afin que les élèves les comprennent mieux. Globalement, l’occasion a été ratée.
Rémi Brissiaud
Chercheur au Laboratoire Paragraphe, EA 349 (Université Paris 8)
Équipe « Compréhension, Raisonnement et Acquisition de Connaissances »
Membre du conseil scientifique de l'AGEEM
Voir :
Nouveaux aménagements pour vieux programmes
Dossier Lecture maths au primaire
Notes :
1 http://www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html?cid_bo=80467
2 Fayol, M., & Thevenot, C. (2012). The use of procedural knowledge in simple addition and subtraction problems. Cognition, 123, 392-403.
3 Ce thème n’est pas abordé ici mais les résultats des multiplications élémentaires, eux, sont mémorisés de manière déclarative. Dès le début des années 1990, Jean-Paul Fischer avait montré que les résultats de multiplication et de soustraction ne sont pas mémorisés de la même manière.
4 Brissiaud, R. (2005). Comprendre la numération décimale: Les deux formes de verbalisme qui donnent l'illusion de cette compréhension. Actes du Congrès scientifique international de la Fédération Nationale des Orthophonistes : “Comprendre”. Rééducation Orthophonique, 223, pp. 225–238.
Chambris, C. (2008) Relations entre les grandeurs et les nombres dans les mathématiques à l’école primaire. Évolution de l’enseignement au cours du 20ème siècle. Connaissances des élèves actuels. Thèse de l’Université Paris 7.
Tempier, F. (2010) Une étude des programmes et manuels sur la numération décimale au CE2. Grand N, 86, 59-90.
5 Les exemples qui suivent sont exposés en s’appuyant sur les opérations posées en colonnes mais les mêmes connaissances sont mobilisées lorsque les opérations sont proposées « en ligne ». Tant que la taille des nombres le permet, il est important à l’école de proposer les opérations sous les deux formats.
6 http://www.education.gouv.fr/cid73252/evolution-des-acquis-en-debut-de-ce2-entre-1999-et-2013-les-progres-observes-a-l-entree-au-cp-entre-1997-et-2011-ne-sont-pas-confirmes.html
7 Rocher T. (2008) Lire, écrire, compter : les performances des élèves de CM2 à vingt ans d'intervalle 1987-2007. Note 08.38 de la DEPP ; décembre 2008.
8 Pour comprendre comment s’articulent les composantes « compréhension de l’énoncé » et « connaissances arithmétiques » dans la résolution d’un problème, on peut se reporter à :
Brissiaud, R., & Sander, E. (2010). Arithmetic word problem solving: a Situation Strategy First Framework. Developmental Science, 13(1), 92-107.
Thevenot, C. & Barrouillet, P. (à paraître) Arithmetic word problem solving and mental representations, In : The Oxford Handbook of Numerical Cognition.
9 http://www.cafepedagogique.net/lesdossiers/Pages/2014/060614_RBrissiaud.aspx
10 Texte paru dans la rubrique « Idées » de l’édition du 20/12/2013 sous le titre : « Enseigner est une science ». Le texte est disponible à l’adresse : http://moncerveaualecole.com/education-et-sciences-cognitives-le-coup-de-gueule/